La gravitation universelle

BD d’introduction : Attraction des corps

L’étude du poids a montré que la Terre attire les objets vers le sol sous l’effet de la gravitation. Cette attraction gravitationnelle peut être généralisée…

Quels sont les objets qui s’attirent par gravitation ?

Tous les objets qui ont une masse1 s’attirent entre eux sous les effets de la gravitation. Cette attraction est parfois tellement faible qu’on ne la détecte pas.

Un raisonnement simple permet de s’en convaincre :

Qui attire qui par gravitation ?

  1. L’astronaute est évidemment attiré par la Terre, c’est ce qu’on appelle son poids.
  2. L’astronaute est aussi attiré par la Lune. Les vidéos des missions Apollo montrent en effet que les astronautes retombent sur le sol lorsqu’ils sautent. Mais on voit qu’ils sont attirés moins fort que sur Terre.
  3. De même que l’attraction de l’astronaute vers le sol a diminué en passant de la Terre à la Lune, on peut supposer que ce sera la même chose en passant à un astéroïde : l’astéroïde va attirer l’astronaute mais beaucoup moins fort que la Lune.
  4. En continuant le raisonnement, on peut deviner que la balle (perdue dans l’espace) attirera aussi l’astronaute mais énormément moins que l’astéroïde (peut être pas assez pour qu’on le remarque).
  5. On aurait pu commencer le raisonnement avec une balle et arriver à la conclusion que la balle est attirée par l’astronaute… Donc la balle attire l’astronaute et l’astronaute attire la balle.
  6. Finalement, en faisant le chemin en sens inverse, on en déduit que l’astronaute attire également l’astéroïde, la Lune et la Terre.

De quoi dépend l’attraction gravitationnelle ?

En continuant le raisonnement précédent, on peut supposer que l’attraction gravitationnelle dépend de la masse des deux objets qui sont attirés (et non pas de leur taille).

On peut aussi se convaincre assez facilement que si l’astronaute est à l’autre bout du système solaire, il sera moins attiré par la Terre que lorsqu’il se trouve dessus.

L’attraction gravitationnelle augmente quand la masse des objets qui s’attirent augmente. Elle diminue quand la distance entre les objets qui s’attirent augmente.

Dans tous les cas, la gravitation est toujours attractive.

La force de gravitation

Étant une interaction, l’attraction gravitationnelle peut être modélisée par une force.

Forces entre 2 masses ponctuelles

Dans le cas simplifié où l’on considère deux objets ponctuels2 de masses \(m_1\) et \(m_2\), séparés par une distance \(d\), les forces gravitationnelles \(F_{2/1}\) et \(F_{1/2}\)3 qu’exercent chaque objet sur l’autre peuvent être calculées avec la relation :

\[F_{2/1} = F_{1/2} = G \times \frac{m_1 \times m_2}{d^2}\]

où \(F_{2/1}\) et \(F_{1/2}\) sont en newtons, \(m_1\) et \(m_2\) en kilogrammes et \(d\) en mètres.

\(G\) est un coefficient de proportionnalité qui s’appelle la constante gravitationnelle.

Quelques remarques concernant la formule :

  • comme \(F_{2/1} = F_{1/2}\), les deux objets s’attirent avec la même force. Cela peut paraître contre intuitif : une pomme attire la Terre vers elle avec la même force que celle qui attire la pomme vers la Terre (du fait de sa petite masse, c’est la pomme qui se déplace !).
  • l’attraction gravitationnelle est proportionnelle aux masses des deux objets qui s’attirent : si une des deux masses double, la force gravitationnelle double aussi.
  • comme la distance apparaît au dénominateur, cela signifie que la force diminue quand les masses s’éloignent. Mais comme la distance est au carré, la force diminue très vite quand les masses s’éloignent : si les masses sont 2 fois plus éloignées, la force est 4 fois plus petite ; si les masses sont 10 fois plus éloignées, la force est 100 fois plus petite !
  • la constante gravitationnelle est très petite : \(G = 6,67 \times 10^{-11}\) dans le système international d’unités4. La force gravitationnelle qui s’exerce entre deux objets est donc extrêmement petite et on ne la détecte quasiment jamais. La seule exception est lorsque l’un des deux objets est extrêmement lourd (une planète par exemple).
  • \(d\) est la distance entre les centres5 des deux objets car on considère que toute leur masse est concentrée en un point : leur centre.
  • attention : il ne faut pas confondre l’intensité de la pesanteur \(g\) et la constante gravitationnelle \(G\).

Poids et attraction gravitationnelle

Le poids est défini comme « l’attraction gravitationnelle » exercée par la Terre sur un objet.

Il peut se calculer avec la formule \(P = m \times g\) mais on peut aussi le calculer avec la formule permettant de déterminer la force gravitationnelle \(F_g\) exercée par la Terre sur l’objet :

\[P = F_g = G \times \frac{m \times M_T}{ {R_T}^2}\]

On a considéré que l’objet se trouve proche du sol et que la distance entre l’objet et le centre de la Terre est donc environ égale au rayon de la Terre \(R_T\). \(M_T\) représente la masse de la Terre.

Calcul du poids

Avec cette relation, on remarque que le poids de l’objet change selon la distance qui le sépare de la Terre. Ce résultat se retrouve aussi dans l’autre expression du poids (\(P = m \times g\)) car l’intensité de la pesanteur \(g\) n’est pas la même partout : elle vaut environ 9,80 N/kg à Haguenau ou Paris mais 9,77 N/kg seulement en haut de l’Himalaya.

Notes

  1. Tous les les objets et toutes les particules vues au collège ont une masse. 

  2. Ponctuel signifie qu’on fait comme si toute la masse de l’objet était concentrée en un point. 

  3. \(F_{2/1}\) signifie la force exercée par l’objet 2 sur l’objet 1. \(F_{1/2}\) signifie la force exercée par l’objet 1 sur l’objet 2. Voir la notation d’une force

  4. L’unité de la constante gravitationnelle est le mètre cube par kilogramme par seconde au carré (m3/kg/s2). En général on remplace ce type d’unité compliquée par « SI » pour préciser que ce sont des unités du système international (le lecteur se débrouille pour retrouver l’unité lui-même). On note donc souvent : \(G = 6,67 \times 10^{-11} \mathrm{SI}\). 

  5. En réalité il ne s’agit pas tout à fait du centre. Il faut tenir compte de la répartition de la masse dans l’objet.